?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Вопенка П. (2004) Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность

Если существуют неаристотелева логика и неархимедов анализ, то должна существовать и неканторова теория множеств. И действительно, такую теорию разрабатывает с 70-х годов прошлого века чешский математик Петр Вопенка. По прочтении посвященной ему статьи Википедии складывается впечатление о неординарном индивидууме, породившем неортодоксальную теорию.

Канторовское наивное понятие множества (совокупность индивидуальных объектов, рассматриваемая как единое целое) уточняется и обобщается следующим образом.

Наиболее общим является понятие собрания. Собрание определяется через характеристическое свойство своих элементов. Элементы собраниий суть объекты, но собрание может и не быть объектом. Например, собрание всех (канторовских) множеств не есть объект, поскольку его (потенциальные) элементы недоопределены. Так избегается парадокс Рассела. Собрание слов, определяемых меньше чем в двадцать слов - также не объект. Так избегается парадокс Берри.

Собрания, являющиеся объектами, т. е. потенциальными элементами собраний, суть (в терминологии Вопенки) классы. Например, можно говорить о классе всех столов, который будет подклассом всей мебели, однако нет гарантии, что класс определен четко. Если у стола отрезать две ножки, он по-видимому останется мебелью, но непонятно, останется ли он столом.

Четко определенные классы суть множества.

Главная инновация Вопенки состоит во введении понятия, промежуточного между классами и множествами. Полумножеством называется класс, являющийся подклассом некоторого множества. Парадигматический пример: класс натуральных чисел, выражающих количество песчинок, образующих кучу. Еще пример: класс предков Чарльза Дарвина, являющихся людьми.

(Эти заметки отражают мое понимание после прочтения 1-й главы. Продолжение чтения следует.)

Tags: